Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c經過點A（2，﹣3）．

（1）如圖，過點A分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為B，C，得到矩形ABOC，且拋物線經過點C．

①求拋物線的解析式．

②將拋物線向左平移m（m＞0）個單位，分別交線段OB，AC于D，E兩點．若直線DE剛好平分矩形ABOC的面積，求m的值．

（2）將拋物線平移，使點A的對應點為A1（2﹣n，3b），其中n≥1．若平移后的拋物線仍然經過點A，求平移后的拋物線頂點所能達到最高點時的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣2x﹣3；②m＝；（2）頂點坐標（0，﹣7）．

【解析】

（1）①將A（2，﹣3），B（2，0）代入y＝x2+bx+c即可求出；

②因為直線DE剛好平分矩形ABOC的面積，所以AE＝OD＝m，DB＝CE＝2﹣m，D（m，0），E（2﹣m，﹣3），易知F（3，0），所以DF＝3﹣m，于是3﹣m＝m，從而求出m；

（2）由拋物線y＝x2+bx+c經過點A（2，﹣3），可得y＝x2+bx﹣2b﹣7，由A的對應點為A1（2﹣n，3b），可知拋物線向左平移了n個單位，向上平移（3b+3）個單位，則平移后y＝（x+n）2+b（x+n）﹣2b﹣7+3b+3，整理后根據平移后的拋物線仍然經過點A（2，﹣3），繼而可求得b＝﹣n﹣1，進而可求得頂點坐標.

（1）①∵四邊形ABOC是矩形，A（2，﹣3），

∴B（2，0），C（0．﹣3），

∵拋物線y＝x2+bx+c過點A、C，

∴， 解得：，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

②如圖，設原拋物線與x軸正半軸交于點F，

∵直線DE剛好平分矩形ABOC的面積，

∴AE＝OD＝m，DB＝CE＝2﹣m

∴D（m，0），E（2﹣m，﹣3）

∵易知F（3，0），

∴DF＝3﹣m，

∵DF＝AE，

∴3﹣m＝m，

∴m＝；

（2）拋物線y＝x2+bx+c經過點A（2，﹣3）．

﹣3＝22+2b+c，

∴c＝﹣2b﹣7，

∴y＝x2+bx﹣2b﹣7，

∵A的對應點為A1（2﹣n，3b），

∴拋物線向左平移了n個單位，向上平移（3b+3）個單位

則平移后y＝（x+n）2+b（x+n）﹣2b﹣7+3b+3，

整理得y＝（x+n）2+b（x+n）+b﹣4＝（x+n+）2﹣+b﹣4，

∵平移后的拋物線仍然經過點A（2，﹣3），

∴﹣3＝（2+n）2+b（2+n）+b﹣4，

∴n2+4n+3+b（3+n）＝0，

∴（n+1（n+3））+b（n+3）＝0，

（n+3）（n+1+b）＝0，

∵n≥1，∴n+3>0，

∴n+1+b＝0，b＝﹣n﹣1，

頂點坐標（﹣n﹣，﹣ +b﹣4），

y頂＝﹣+b﹣4＝﹣（b﹣2）2﹣3＝﹣（n+3）2﹣3，

∵n≥1，-＜0，

∴n＝1時，頂點最高，此時b＝﹣1﹣1＝﹣2，

頂點坐標（0，﹣7）．