Question

【題目】如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點O，BC與AE交于于點P．

（1）求證：△ACE ≌ △BCD．

（2）求∠AOB的度數．

（3）連接OC，求證：OC平分∠AOD

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質證明；

（2）由得到∠CBD=∠CAE．再利用三角形內角和等于180°，由△APC和△BPO中有內角互為對頂角進而得出∠BOA=∠ACP=60°.

（3）過C點作CG⊥AE，CH⊥BD，由三角形全等可得其對應高相等．再根據到角兩邊距離相等的點在角平分線即可得出結論.

（1）證明：與都是等邊三角形，

，，，

∴，

即．

在和中，

，

（SAS）．

（2）．

∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BPO =∠APC，

又∵∠CBD+∠BPO+∠BOP=∠CAE+∠APC+∠ACP=180°.
∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．

（3）如圖，過C點作CG⊥AE，CH⊥BD，

，

∴，AE=BD，

∴，

∴CG=CH，

又∵CG⊥AE，CH⊥BD，

∴OC是∠AOD的角平分線，即OC平分∠AOD.