Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于某點（不是原點），稱以點為圓心，長為半徑的圓為點的半長圓；對于點，若將點的半長圓繞原點旋轉，能夠使得點位于點的半長圓內部或圓上，則稱點能被點半長捕獲（或點能半長捕獲點）．

（1）如圖，在平面直角坐標系中，點，則點的半長圓的面積為__________；下列各點、、、，能被點半長捕獲的點有__________；

（2）已知點，，，①如圖，點，當時，線段上的所有點均可以被點半長捕獲，求的取值范圍；②若對于平面上的任意點（原點除外）都不能半長捕獲線段上的所有點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）S=π，B、C兩點；（2）①－2≤n≤或≤6n≤2；（2）②＜t＜

【解析】

（1）根據定義，半徑為1，直接求面積；根據被捕獲的定義，設點到圓心的距離為d，只需r≤d≤3r，即可以捕獲；

（2）①利用r≤d≤3r這個性質，分別計算臨界點：點E和點F能夠被捕獲的范圍，然后去公共部分即可；

（2）②在上一問的基礎上，只需解得的不等式無公共部分，則不能捕獲

（1）∵點

∴圓的半徑為1，面積為π

根據被捕獲的定義，設點到圓心的距離為d，只需r≤d≤3r，即可以捕獲

即當1≤d≤3時，點可被捕獲

，則d=，不符合；

，d=2，符合；

，d=2，符合；

，d=，不符合

（2）①∵點N(0，n)

∴圓的半徑為，所以只需滿足≤d≤時，則可被捕獲

點E(1，0)，則d=1，要想能夠被捕獲，則：

≤1≤

解得：≤n≤或≤n≤

點F(1，)，則d=2

同理，≤2≤

解得：≤n≤或≤n≤

合并得：≤n≤或≤n≤

（2）②同上，圓的半徑為，所以只需滿足≤d≤時，則可被捕獲

點E(t，0)，則d=t，要想能夠被捕獲，則：≤n≤或≤n≤

點F(t，)，則d=，要想能夠被捕獲，則：≤n≤或≤n≤

∵任意值都不能捕獲，∴得到的兩個不等式無公共部分，即：

和＞

在結合t＞0，解得：0＜t＜