Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）
（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置，并標(biāo)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），驗(yàn)證點(diǎn)D是否在經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線上；
（3）若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），想一想直線CD與⊙M有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）題利用“兩弦垂直平分線的交點(diǎn)為圓心”可確定圓心位置；
（2）先根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可判斷出點(diǎn)D是否在拋物線的圖象上；
（3）由于C在⊙M上，如果CD與⊙M相切，那么C點(diǎn)必為切點(diǎn)；因此可連接MC，證MC是否與CD垂直即可．可根據(jù)C、M、D三點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出△CMD三邊的長(zhǎng)，然后用勾股定理來判斷∠MCD是否為直角．

解答： 解：（1）如圖1，點(diǎn)M就是要找的圓心．
正確即可（2分）

（2）由A（0，4），可得小正方形的邊長(zhǎng)為1．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+4，依題意有

4=16a+4b+4 2=36a+6b+4

，
解得，

a=- 1 6 b= 2 3

；
所以經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=-

1

6

x²+

2

3

x+4，
把點(diǎn)D（7，0）的橫坐標(biāo)x=7代入上述解析式，得 y=-

1

6

×49+

2

3

×7+4=

1

2

≠0，
所以點(diǎn)D不在經(jīng)過A、B、C的拋物線上；

（3）證明：由A（0，4），可得小正方形的邊長(zhǎng)為1．（1分）
如圖2，設(shè)過C點(diǎn)與x軸垂直的直線與x軸的交點(diǎn)為E，連接MC，作直線CD，
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，（1分）
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，（1分）
∴∠MCD=90°，（1分）
又∵M(jìn)C為半徑，
∴直線CD是⊙M的切線．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題為綜合題，涉及圓、平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)等知識(shí)，需靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題．本題考查二次函數(shù)、圓的切線的判定等初中數(shù)學(xué)的中的重點(diǎn)知識(shí)，試題本身就比較富有創(chuàng)新，在網(wǎng)格和坐標(biāo)系中巧妙地將二次函數(shù)與圓的幾何證明有機(jī)結(jié)合，很不錯(cuò)的一道題，令人耳目一新．