Question

【題目】閱讀下列材料，解決所提的問題：

勾股定理a+b=c本身就是一個關于a，b，c的方程，我們知道這個方程有無數組解，滿足該方程的正整數解（a，b，c）通常叫做勾股數組．關于勾股數組的研究我國歷史上有非常輝煌的成就，根據我國古代數學書《周髀算經》記載，在約公元前1100年，人們就已經知道“勾廣三、股修四、徑隅五”（古人把較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，而斜邊則為弦），即知道了勾股數組（3，4，5）．類似地，還可以得到下列勾股數組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，這些數組也叫做畢達哥拉斯勾股數組．

上述勾股數組的規律，可以用下面表格直觀表示：

觀察分析上述勾股數組，可以看出它們具有如下特點：

特點1：最小的勾股數的平方等于另兩個勾股數的和；

特點2：____________________________________．

…

學習任務：

（1）請你再寫出上述勾股數組的一個特點：________________；

（2）如果n表示比1大的奇數，則上述勾股數組可以表示為（n，______，______）

（3）請你證明（2）的結論．

Answer 1

【答案】（1）最小的勾股數與比它大1的整數的乘積等于各個勾股數的和；（2），；（3）見解析．

【解析】

（1）由3×4=3+4+5，5×6=5+12+13，7×8=7+24+25，……可得最小的勾股數與比它大1的整數的乘積等于各個勾股數的和，即可得答案；

（2）由，；，=13；，……可得勾數為大于1的奇數時，股數等于勾數的平方減1的一半，弦數等于勾數的平方加1的一半，即可得答案；

（3）根據整式的運算得出n2+()2=()2即可．

（1）3×4=3+4+5，

5×6=5+12+13，

7×8=7+24+25，

……

∴最小的勾股數與比它大1的整數的乘積等于各個勾股數的和．

故答案為：最小的勾股數與比它大1的整數的乘積等于各個勾股數的和

（2）

，，

，=13，

，，

……

∴股數等于勾數的平方減1的一半，弦數等于勾數的平方加1的一半，

∴勾數為大于1的奇數時，股數等于勾數的平方減1的一半，弦數等于勾數的平方加1的一半，

∴n為比1大的奇數時，上述勾股數組可以表示為（n，，）

故答案為：，

（3）∵

=

=

=．

∴（，，）是勾股數組．