Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠A的外角平分線交BC的延長線于點D．

（1）線段BC的垂直平分線交DA的延長線于點P，連接PB，PC．

①利用尺規作圖補全圖形1，不寫作法，保留痕跡；

②求證：∠BPC=∠BAC；

（2）如圖2，若Q是線段AD上異于A，D的任意一點，判斷QB+QC與AB+AC的大小，并予以證明．

Answer 1

【答案】（1）①如圖1所示，見解析；②證明見解析；（2）QB+QC＞AB+AC．證明見解析.

【解析】

（1）①作出線段BC的垂直平分線即可；

②在AE上截取AF=AC．設PC交AB于G．由△APC≌△APF，推出∠PCA=∠PFA，PC=PF，由點P在線段BC的垂直平分線上，推出PB=PC=PF，推出∠PBF=∠PFA，推出∠PBG=∠ACG，由∠PGB=∠AGC，可得∠BPC=∠BAC；

（2）如圖2中，在AE上截取AF=AC．可得△QAF≌△QAC解決問題；

（1）①解：如圖1所示，

②證明：在AE上截取AF=AC．設PC交AB于G．

∵AD平分∠CAF，

∴∠DAC=∠DAF，

∴∠CAP=∠FAP，

∵AP=AP，AC=AF，

∴△APC≌△APF，

∴∠PCA=∠PFA，PC=PF，

∵點P在線段BC的垂直平分線上，

∴PB=PC=PF，

∴∠PBF=∠PFA，

∴∠PBG=∠ACG，

∵∠PGB=∠AGC，

∴∠BPC=∠BAC；

（2）如圖2中，在AE上截取AF=AC．

同法可證△QAF≌△QAC，

∴QC=QF，

∵QB+QC=QB+QF＞BF，BF=AB+AF=AB+AC，

∴QB+QC＞AB+AC．