Question

在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形ABC，∠A是銳角，那么
sinA=，cosA=，tanA=，cotA=

為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：
設有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸ox，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，點P 和原點（0，0）的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數規定為：
sinα=，cosα=，tanα=，cotα=
我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關，而與點P在角α的終邊位置無關．
比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題，每題4分，共16分
（1）若270°＜α＜360°，則角α的三角函數值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是______；
（2）若角α的終邊與直線y=2x重合，則sinα+cosα=______；
（3）若角α是鈍角，其終邊上一點P（x，），且cosα=，則tanα______；
（4）若 0°≤α≤90°，則sinα+cosα 的取值范圍是______．

Answer 1

解：（1）∵270°＜α＜360°，∴x＞0，y＜0，
∴角α的三角函數值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是cosα．

（2）∵角α的終邊與直線y=2x重合，
∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-．
∴sinα+cosα=或sinα+cosα=-．

（3）cosα==，則r=2，
∴x=，
∴tanα==-=-．

（4）若 0°≤α≤90°，設OP=1，
則sinα+cosα=x+y，
∵當α=0°時，x+y=x=OP=1，
當α≠0時，根據三角形的兩邊之和大于第三邊，則x+y＞1，
因而sinα+cosα≥1，
∵x²+y²=1，
∴（x+y）²-2xy=1，
∴（x+y）²=1+2xy≤1+（x²+y²），
∵當x=y時，（x+y）²的值最大，當x=y時，x=y=，
∴（x+y）²≤2．
∴x+y≤
故其取值范圍為：[1，]
故答案為：cosα，，-，[1，]．
分析：根據題中所給的第二種定義計算各題即可．
點評：本題考查了銳角三角函數的定義，有一定難度，讀懂新定義的是關鍵．