Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；

（2）連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】(1) t=1或 ;(2)

【解析】試題分析：

（1）由∠B是△BPQ與△ABC的公共角，可知，若兩三角形相似，存在兩種情況：①△BPQ∽△BAC；②△BPQ∽△BCA；分這兩種情況結合相似三角形的性質和題意即可解得對應的t的值；

（2）如圖1，過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，由題意可知：當AQ⊥CP時，△ACQ∽△CMP，由相似三角形的性質列出比例式即可解得對應的t的值.

試題解析：

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，

∴由勾股定理可得：BA=；

由題意現分兩種情況討論：

①當△BPQ∽△BAC時， ，

∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，

∴，解得： ；

②當△BPQ∽△BCA時， ，

∴，解得， ；

綜上所述，當或時，△BPQ與△ABC相似.

（2）過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，如圖1所示：

∴∠PMB=∠ACB=90°，

∴PM∥AC，

∴△BPM∽△BAC，

∴，即，

∴PM=，BM=，

∴CM=.

∵AQ⊥CP，∠ACB=90°，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM，

∵∠ACQ=∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴，即，解得．