Question

【題目】如圖，已知是三角形紙片的高，將紙片沿直線折疊，使點與點重合，給出下列判斷：

①是的中位線；

②的周長等于周長的一半：

③若四邊形是菱形，則；

④若是直角，則四邊形是矩形．

其中正確的是(　　)

A.①②③B.①②④C.②④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據折疊可得EF是AD的垂直平分線，再加上條件AD是三角形紙片ABC的高可以證明EF∥BC，進而可得△AEF∽△ABC，從而得，進而得到EF是△ABC的中位線；再根據三角形的中位線定理可判斷出△AEF的周長是△ABC的一半，進而得到△DEF的周長等于△ABC周長的一半；根據三角形中位線定理可得AE=AB，AF=AC，若四邊形AEDF是菱形則AE=AF，即可得到AB=AC．

解：∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

根據折疊可得：EF是AD的垂直平分線，

∴AO=DO=AD，AD⊥EF，

∴∠AOF=90°，

∴∠AOF=∠ADC=90°，

∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

，

∴EF是△ABC的中位線，

故①正確；

∵EF是△ABC的中位線，

∴△AEF的周長是△ABC的一半，

根據折疊可得△AEF≌△DEF，

∴△DEF的周長等于△ABC周長的一半，

故②正確；

∵EF是△ABC的中位線，

∴AE=AB，AF=AC，

若四邊形AEDF是菱形，

則AE=AF，

∴AB=AC，

故③正確；

根據折疊只能證明∠BAC=∠EDF=90°，

不能確定∠AED和∠AFD的度數，故④錯誤；

故選：A．