Question

【題目】如圖，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下結論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°；⑤DB平分∠ADC．其中正確的結論有（　　）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據角平分線的定義、三角形的內角和定理、三角形的外角的性質、平行線的判定、菱形的判定、等邊三角形的判定判斷即可．

解：①∵BD、CD分別平分△ABC的內角∠ABC、外角∠ACP，

∴AD平分△ABC的外角∠FAC，

∴∠FAD＝∠DAC，

∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，

∴∠FAD＝∠ABC，

∴AD∥BC，故①正確．

②∵BD、BE分別平分△ABC的內角∠ABC、外角∠MBC，

∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°，

∴EB⊥DB，故②正確，

③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，

∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BAC+2∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°，

∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正確，

④∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠BAC），

∴∠BEC＝90°﹣∠BAC，

∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正確，

⑤不妨設BD平分∠ADC，則易證四邊形ABCD是菱形，推出△ABC是等邊三角形，這顯然不可能，故錯誤．

故選：C．