Question

（2006•福州質檢）如圖，直角三角形A₁B₁C₁中，∠C₁=90°，點A、A₁在y軸上，且AO=2A₁O，連接B₁O并延長至B，使BO=2B₁O，請用尺規完成下列作圖：連接C₁O并延長至C，使CO=2C₁O，連接AB、BC、CA，則△A₁B₁C₁

∽

△ABC（填≌或∽），若∠B₁A₁C₁=30°，A₁（0，-1.5），C₁（-

3

，-1.5），則△ABC中，邊AB的長是

4

．

Answer 1

分析：根據OC=2OC₁，畫出C點，連接即可得出三角形ABC，證△AOB∞△A₁OB₁，求出

AB

A1B1

=2，同理求出

AC

A1C1

=

BC

B1C1

=2即可；根據C₁的坐標求出A₁C₁的值，根據含30度角的直角三角形性質和勾股定理求出A₁B₁的值，根據比例式求出即可．

解答：解：如圖所示：△ACB是所求三角形，
∵

OA

OA1

=

OB

OB1

=2，∠AOB=A₁OB₁，
∴△AOB∽△A₁OB₁，
∴

AB

A1B1

=

OA

OA1

=2，
同理：

AC

A1C1

=

OA

OA1

=2，

BC

B1C1

=

OC

OC1

=

OA

OA1

=2，
∴

BA

A1B1

=

BC

B1C1

=

AC

A1C1

=2，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，
∵C₁（-

3

，-1.5），∠B₁A₁C₁=30°，
∴A₁C₁=

3

，B₁C₁=1，A₁B₁=2，
∴AB=2A₁B₁=4，
故答案為：∽，4．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，坐標與圖形性質等知識點，主要是檢查學生能否熟練地運用相似三角形的性質和判定進行推理，題型較好，比較典型．難度適中．