Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分別是AC、AB的中點，連接DE．點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t（0＜t＜4）s．解答下列問題：

（1）當t為何值時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似？

（2）當t為何值時，△EPQ為等腰三角形？（直接寫出答案即可）；

Answer 1

【答案】（1）當t為s或s時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似．

（2）t=1或3或或秒時，△PQE是等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）如圖①所示，當PQ⊥AB時，△PQE是直角三角形．解決問題的要點是將△PQE的三邊長PE、QE、PQ用時間t表示，這需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例線段關系（或三角函數）；

（2）分三種情形討論，如圖3中，當點Q在線段BE上時，EP=EQ；如圖4中，當點Q在線段AE上時，EQ=EP；如圖5中，當點Q在線段AE上時，EQ=QP；如圖6中，當點Q在線段AE上時，PQ=EP．分別列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8

∴AB==10．

∵D、E分別是AC、AB的中點．

AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且

DE=BC=4，

①PQ⊥AB時，

∵∠PQB=∠ADE=90°，∠AED=∠PEQ，

∴△PQE∽△ADE，

，由題意得：PE=4﹣t，QE=2t﹣5，

即 ，解得t=；

②如圖2中，

當PQ⊥DE時，△PQE∽△DAE，

∴，

∴，

∴t=，

∴當t為s或s時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似．

（2）如圖3中，當點Q在線段BE上時，由EP=EQ，可得4﹣t=5﹣2t，t=1．

如圖4中，當點Q在線段AE上時，由EQ=EP，可得4﹣t=2t﹣5，解得t=3．

如圖5中，當點Q在線段AE上時，由EQ=QP，可得（4﹣t）：（2t﹣5）=4：5，解得t=．

如圖6中，當點Q在線段AE上時，由PQ=EP，可得（2t﹣5）：（4﹣t）=4：5，解得t=．

綜上所述，t=1或3或或秒時，△PQE是等腰三角形．