Question

【題目】如圖1，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，C是邊AE上任意一點（點C與點A、E不重合），以AC為一直角邊在Rt△ADE的外部作Rt△ABC，∠BAC=90°，連接BE、CD．

（1）在圖1中，若AC=AB，AE=AD，現將圖1中的Rt△ADE繞著點A順時針旋轉銳角α，得到圖2，那么線段BE．CD之間有怎樣的關系，寫出結論，并說明理由；

（2）在圖1中，若CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，將圖1中的Rt△ADE繞著點A順時針旋轉銳角α，得到圖3，連接BD、CE．

①求證：△ABE∽△ACD；

②計算：BD2+CE2的值．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由見角；（2）①證明見解析；②BD2+CE2=170．

【解析】

（1）結論：BE=CD，BE⊥CD；只要證明△BAE≌△CAD，即可解決問題；

（2）①根據兩邊成比例夾角相等即可證明△ABE∽△ACD．

②由①得到∠AEB=∠CDA．再根據等量代換得到∠DGE=90°，即DG⊥BE，根據勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2，即可根據勾股定理計算．

（1）結論：BE=CD，BE⊥CD．

理由：設BE與AC的交點為點F，BE與CD的交點為點G，如圖2．

∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．

在△CAD和△BAE中，∵，∴△CAD≌△BAE，∴CD=BE，∠ACD=∠ABE．

∵∠BFA=∠CFG，∠BFA+∠ABF=90°，∴∠CFG+∠ACD=90°，∴∠CGF=90°，∴BE⊥CD．

（2）①設AE與CD于點F，BE與DC的延長線交于點G，如圖3．

∵∠CABB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．

∵CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，∴==2，∴△ABE∽△ACD；

②∵△ABE∽△ACD，∴∠AEB=∠CDA．

∵∠AFD=∠EFG，∠AFD+∠CDA=90°，∴∠EFG+∠AEB=90°，∴∠DGE=90°，∴DG⊥BE，∴∠AGD=∠BGD=90°，∴CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2，∴BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2．

∵CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2，∴BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170．