Question

【題目】我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”；數形結合是解決數學問題的重要思想方法.例如，代數式的幾何意義是數軸上所對應的點與2所對應的點之間的距離；因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．

⑴. 發現問題：代數式的最小值是多少？

⑵. 探究問題：如圖，點分別表示的是 ，．

∵的幾何意義是線段與的長度之和

∴當點在線段上時，;當點點在點的左側或點的右側時

∴的最小值是3．

⑶.解決問題：

①.的最小值是 ；

②.利用上述思想方法解不等式：

③.當為何值時，代數式的最小值是2．

Answer 1

【答案】①6；②或；③或

【解析】

(3)①根據絕對值的幾何意義可知，變成數軸上的點到-2的距離和到4的距離之和的最小值；

②根據題意畫出相應的圖形，確定出所求不等式的解集即可；

③根據原式的最小值為2，得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點即可．

解：(3)①設A表示的數為4，B表示的數為-2，P表示的數為x，

∴表示數軸上的點P到4的距離，用線段PA表示，

表示數軸上的點P到-2的距離，用線段PB表示，

∴的幾何意義表示為PA+PB，當P在線段AB上時取得最小值為AB，

且線段AB的長度為6，

∴的最小值為6.

故答案為：6.

②設A表示-3，B表示1，P表示x，

∴線段AB的長度為4，則，

的幾何意義表示為PA+PB，

∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，

∴P不能在線段AB上，應該在A的左側或者B的右側，

即不等式的解集為或．

故答案為：或．

③設A表示-a，B表示3，P表示x，

則線段AB的長度為，

的幾何意義表示為PA+PB，當P在線段AB上時PA+PB取得最小值，

∴

∴或，

即或；

故答案為：或.