Question

【題目】問題探究：
（1）已知：如圖1，在正方形ABCD中，點E、H分別在BC、AB上，若AE⊥DH于點O，求證AE=DH；

類比探究：
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數量關系，并說明理由；
拓展應用：
（3）已知，如圖3，在（2）問條件下，若BC=4，E為BC的中點，AF= AD，求HG的長

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO，

在△ABE和△DAH中

，

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH．

（2）

解：EF=GH．

理由：如圖2，將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．

將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根據（1）的結論得AM=DN，

所以EF=GH；

（3）

解：如圖3，

過點F作FP⊥BC于點P，

∵四邊形ABCD是正方形，BC=4，

∴AD=BC=AB=FP=4，

∵E為BC的中點，AF= AD，

∴BE=2，AF=1，

∴PE=2﹣1=1，

在Rt△FPE中，EF= = ，

由（2）得：HG=EF，

∴HG= ．

【解析】（1）由正方形的性質得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；（2）將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據（1）的結論得AM=DN，所以EF=GH；（3）過點F作FP⊥BC于點P，利用勾股定理得出EF的長，進而得出HG的長．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．