Question

【題目】如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，延長到，使，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)連接，若，且，求的長．

Answer 1

【答案】(1)證明間解析；（2）

【解析】

(1)四邊形ABCD是平行四邊形，由平行四邊形的性質，及，可得AB=DE， AB//DE ，則四邊形ABDE是平行四邊形；

(2)因為AD=DE=8，則AD=AB=8，四邊形ABCD是菱形，由菱形的性質及解直角三角形可得AO=ABsin∠ABO=4，BO=ABcos∠ABO=4， BD=8 ，則AE=BD，利用勾股定理可得OE．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∵DE＝CD，

∴AB＝DE．

又∵AB∥DE

∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）∵AD＝DE＝8，

∴AD＝AB＝8．

∴ABCD是菱形，

∴AB＝BC，AC⊥BD，，．

又∵∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝30°．

在Rt△ABO中，，．

∴．

∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AE∥BD，．

又∵AC⊥BD，

∴AC⊥AE．

在Rt△AOE中，．