Question

【題目】如圖，中，．

（1）請用尺規作圖的方法在邊上確定點，使得點到邊的距離等于的長；（保留作用痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）作出∠ABC的角平分線BM交線段AC于P，利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知點P即為所求；

（2）過點P作PN⊥BC，交BC于點N，通過證明≌得到AB=BN，且易得PN=NC，由BC=BN+NC，等線段轉化即可得證.

解：（1）如圖：利用尺規作圖，作出∠ABC的角平分線BM交線段AC于P，則點到邊的距離等于的長；

（2）如圖，過點P作PN⊥BC，交BC于點N，由（1）可知:PA=PN，

在和中，

，

∴≌(HL)，

∴AB=BN，

∵，

∴∠C=45°，

又∵∠PNC=90°

∴∠NPC=∠C=45°，

∴PN=NC，

∴BC=BN+NC=AB+PN=AB+AP.