Question

【題目】如圖，已知拋物線C1：y=a(x+2)2-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

(1) 求P點坐標及a的值；

(2)如圖（1），

拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式；

(3) 如圖（2），

點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）頂點P的為（-2，-5），a＝

（2）拋物線C3的表達式為 y=- (x-4)2+5

（3）當Q點坐標為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點

的三角形是直角三角形．

【解析】

(1)把B（1,0）代入y=a(x+2)2-5，即可解得a值；

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G,根據P、M關于點B成中心對稱，證明△PBH≌△MBG，即可求出MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，得到頂點M的坐標，再根據拋物線C2由C1關于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到，即可寫出拋物線C3的表達式

（3）根據拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得到，點N的縱坐標為5，設點N的坐標為（m,5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，可求出EF＝AB＝2BH＝6，FG＝3，點F坐標為（m+3，0），H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），

根據勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，NF2＝52+32＝34，再分三種情況討論即可.

(1)由拋物線C1：y=a(x+2)2-5，得

頂點P的為（-2，-5）

∵點B（1，0）在拋物線C1上

∴0= a(1+2)2-5

解得，a＝

(2)連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G

∵點P、M關于點B成中心對稱

∴PM過點B，且PB＝MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴頂點M的坐標為（4，5）

∵拋物線C2由C1關于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到

∴拋物線C3的表達式為 y=- (x-4)2+5

（3）∵拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得到

∴頂點N、P關于點Q成中心對稱

由（2）得點N的縱坐標為5

設點N坐標為（m，5）

作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K

∵旋轉中心Q在x軸上

∴EF＝AB＝2BH＝6

∴FG＝3，點F坐標為（m+3，0），H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），

根據勾股定理得

PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104

PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50

NF2＝52+32＝34

①當∠PNF＝90時，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，

∴Q點坐標為（，0）

②當∠PFN＝90時，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q點坐標為（，0）

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90

綜上所得，當Q點坐標為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點

的三角形是直角三角形．