Question

【題目】如圖，已知是圓的直徑，是圓上一點，的平分線交于點，交的切線于點，過點作，交的延長線于點.

（1）求證：是的切線；

（2）若，，

①求的值；②若點為上一點，求最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②的最小值為3

【解析】

（1）根據切線的判定，連接過切點E的半徑OE，利用等腰三角形和平行線性質即能證得OE⊥DE．

（2）①觀察DE所在的△ADE與CE所在的△BCE的關系，由等角的余角相等易證△ADE∽△BEC，即得的值．②先利用的值和相似求出圓的直徑，發現∠BAC=30°；利用30°所對直角邊等于斜邊一半，給EG構造以EG為斜邊且有30°的直角三角形，把EG轉化到EP，再從P出發構造PQ=OG，最終得到三點成一直線時線段和最短的模型．

（1）證明：連接

，

，

平分

，

，

，

，

，

，

，

是的切線

（2）①連接

是直徑

，

， ，

是的切線，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

②過點作于，過點作交于，過點作交于

，四邊形是平行四邊形

，

.

設，

，

，

，

，

即

解得：，（舍去）

，，

，

，

，

，

，

當、、在同一直線上（即、重合）時，最短，

，

的最小值為3.