Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，以 AD為直徑作⊙O，⊙O分別交AB、AC于 E、F．

（1）求證：BE＝CF；

（2）設 AD、EF相交于G，若 EF＝8，⊙O的半徑為5，求DG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DG 的長為 2．

【解析】

（1）連接DE，DF，由AB=AC，且AD為BC邊上的高，利用三線合一得到D為BC的中點，AD為頂角平分線，再由AD為圓O的直徑，利用直角所對的角為直角得到一對直角相等，利用AAS得到三角形EBD與三角形FCD全等，由全等三角形的對應邊相等得到BE=CF，得證；

（2）由（1）AB=AC，BE=CF知AE=AF，又∠BAD=∠CAD根據等腰三角形三線合一知AD垂直平分EF；連接OE，設DG=x，分別表示出OE、OG、EF的長，根據勾股定理可得x的值．

（1）如圖，連接 DE、DF、OE，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠B=∠C，BD=CD，∠BAD=∠CAD

∵AD為 O的直徑，

∴∠DEA=∠DFA=90°，

在△DBE和△DCF中，

，

∴△DBE≌△DCF（AAS），

∴BE=CF；

（2）∵AB=AC，BE=CF，

∴AE=AF，

∵∠BAD=∠CAD，EF=8

∴AD⊥EF，EG=FG=EF=4，

設DG=x，

∵⊙O的半徑為5，

∴OE=5，OG=5-x，

在Rt△OEG中，∵OE2=EG2+OG2，

∴52=42+（5-x）2，

解得：x1=2，x2=8（舍去），

故DG的長為2．