Question

【題目】已知二次函數y＝﹣x2+2tx﹣t+1（是常數）．

（1）求此函數的頂點坐標．（用含t的代數式表示）

（2）當x≥2時，y隨x的增大而減小，求t的取值范圍．

（3）當0≤x≤1時，該函數有最大值4，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標為（t，t2﹣t+1）；（2）t≤2；（3）t＝﹣3或4．

【解析】

（1）把二次函數解析式化成頂點式即可得到答案；

（2）根據二次函數的性質，開口向下時，對稱軸右邊y隨x的增大而減小即可得到答案；

（3）根據二次函數的性質，開口向下時，在頂點處取得最大值，分情況討論即可得到答案；

（1）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，

∴頂點坐標為（t，t2﹣t+1）；

（2）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，

∴拋物線開口向下，在對稱軸x＝t的右邊y隨x的增大而減小，

∴當x≥t時，y隨x的增大而減小，

∵當x≥2時，y隨x的增大而減小，

∴t≤2；

（3）∵當0≤x≤1時，該函數有最大值4，

∴①若t＜0，則當x＝0時，y＝﹣t+1＝4，

解得，t＝﹣3；

②若0≤t≤1，則t2﹣t+1＝4，

解得，t＝ （舍）；

③若t＞1，則當x＝1時，y＝﹣1+2t﹣t+1＝4，

解得，t＝4．

綜上，t＝﹣3或4．