Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若AB=14，cos∠CAB= ，求線段OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠CAB=∠ACB，

∴AB=CB，

∴ABCD是菱形．

∴AC⊥BD

（2）解：在Rt△AOB中，cos∠CAB= = ，AB=14，

∴AO=14× = ，

在Rt△ABE中，cos∠EAB= = ，AB=14，

∴AE= AB=16，

∴OE=AE﹣AO=16﹣ =

【解析】（1）根據∠CAB=∠ACB利用等角對等邊得到AB=CB，從而判定平行四邊形ABCD是菱形，根據菱形的對角線互相垂直即可證得結論；（2）分別在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，從而利用OE=AE﹣AO求解即可．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和解直角三角形的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．