Question

【題目】如圖，在正方形中，點是上一動點（不與，重合），對角線、相交于點，過點分別作、的垂線，分別交、于點、，交、于點、．下列結論：①；②；③；④；⑤當時，點是的中點．

其中正確的結論有_____．

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

①根據正方形的每一條對角線平分一組對角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角邊角”證明△APE和△AME全等；
②根據全等三角形對應邊相等可得PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP，證出四邊形PEOF是矩形，得出PF=OE，證得△APE為等腰直角三角形，得出AE=PE，PE+PF=OA，即可得到PM+PN=AC；
③根據矩形的性質可得PF=OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2=PO2；
④判斷出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，從而確定出兩三角形不一定相似；
⑤證出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，從而得出結論．

解：①∵四邊形是正方形，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

故①正確；

②∵，

∴，

同理，，

∵正方形中，，

又∵，，

∴，且中，

∴四邊形是矩形．

∴，

∵在中，，，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，

又∵，，，

∴，

故②正確；

③∵四邊形是矩形，

∴，

在直角中，，

∴，

故③正確；

④∵，

∴.

是等腰直角三角形，而不一定是，

∴與不一定相似，

故④錯誤；

⑤∵，

∴，

∴是等腰直角三角形，

同理，是等腰直角三角形，

當時，是等腰直角三角形．

∴，

又∵和都是等腰直角三角形，

∴，即是的中點，

故⑤正確；

故答案為：①②③⑤．