Question

【題目】(12分)如圖1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，點C在DE上，點B在DF上．

(1)求重疊部分△BCD的面積；

(2)如圖2，將直角三角板DEF繞D點按順時針方向旋轉30度，DE交BC于點M，DF交AB于點N.

①求證：DM＝DN；

②在此條件下重疊部分的面積會發生變化嗎？若發生變化，請求出重疊部分的面積，若不發生變化，請說明理由；

(3)如圖3，將直角三角板DEF繞D點按順時針方向旋轉α度(0＜α＜90)，DE交BC于點M，DF交AB于點N，則DM＝DN的結論仍成立嗎？重疊部分的面積會變嗎？(請直接寫出結論，不需要說明理由)

Answer 1

【答案】(1) (2)①見解析 ②不變 (3) 仍成立，不變

【解析】試題分析:(1)重疊部分△BCD是一個等腰直角三角形,求出其直角邊,即可求解,

(2)連接BD,根據等腰直角三角形的性質可得: ∠C=∠ABD=45°,CD=BD,

又因為∠CDM+∠BD M=∠BDN+∠BDM=90°,所以∠CDM =∠BDN,

根據角邊角可以判定△CDM≌△BDN,所以重疊部分四邊形的面積等于△BCD的面積,即面積不變,

(3)連接BD,根據(2)中的解題思路可證△CDM≌△BDN,所以重疊部分四邊形的面積等于△BCD的面積,即面積不變.

試題解析: (1)∵AB=BC,AC=2,D是AC的中點,

∴CD=BD=AC=1,BD⊥AC.

∴S△BCD＝CD·BD=×1×1=.

(2)①證明:連接BD,則BD垂直平分AC.

∴BD=CD,∠C=∠NBD=45°,

又∵∠CDM=∠BDN,

∴△CDM≌△BDN(ASA)．

∴DM=DN.

②由①知△CDM≌△BDN，∴S四邊形BNDM＝S△BCD＝，即此條件下重疊部分的面積不變，為.

(3)DM=DN的結論仍成立,重疊部分的面積不會變.