Question

【題目】小明在學習過程中遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，CA=CB,E是CD上一點，且ED=EB, ∠DEB=∠ACB,連接AD,探究∠ADC與∠DCB之間的數量關系.小明發現，∠ACD=∠CBE,CA=CB,因此可以通過作∠CAF=∠BCE交CD于點F構造全等，經過推理論證解決問題.

（1）按照小明思考問題的方法，解決問題；

（2）如圖2，∠ACB=90,CA=CB，D是AB上一點，過點D作DE⊥AB交AC于點E,過點E作EM⊥CD于點M,BN⊥CD于點N,探究EM,BN,CD之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）∠DCB=2∠ADC，證明詳見解析；（2）BN= CD+EM，理由詳見解析.

【解析】

（1）∠DCB=2∠ADC，作∠CAF=∠BCE交CD于點F，證明△ACF≌△CBE，根據全等三角形的性質可得AF=CE，CF=BE，∠AFC=∠DCB，再證得AF=DF，根據等腰三角形的性質可得∠ADF=∠DAF，由三角形外角的性質即可證得結論；（2）BN= CD+EM，過點A作AH⊥CD交CD的延長線于點H（如圖2），先證得Rt△ACH≌Rt△CBN，根據全等三角形的性質可得CH=BN，再證得Rt△ADH≌Rt△DEM，根據全等三角形的性質可得EM=DH，由BN= CD+DH= CD+EM.即可證得結論.

（1）∠DCB=2∠ADC，理由如下，

如圖1，作∠CAF=∠BCE交CD于點F，

∵∠DEB=∠EBC+∠ECB,∠ACB=∠ACF+∠ECB,∠DEB=∠ACB，

∴∠ACF=∠CBE，

在△ACF和△CBE中，

∴△ACF≌△CBE，

∴AF=CE，CF=BE，∠AFC=∠DCB，

∵DE=EB，

∴DE=CF，

∴DF=CE，

∵AF=CE，

∴AF=DF，

∴∠ADF=∠DAF，

∴∠AFC=∠ADF+∠DAF=2∠ADC，

∵∠AFC=∠DCB，

∴∠DCB=2∠ADC.

（2）BN= CD+EM，理由如下：

過點A作AH⊥CD交CD的延長線于點H（如圖2），

∵AH⊥CD，BN⊥CD，

∴∠AHC=∠CNB=90°，

∴∠CBN+∠NCB=90°，

∵∠ACH+∠NCB=90°，

∴∠CBN=∠ACH，

在Rt△ACH和Rt△CBN中，

,

∴Rt△ACH≌Rt△CBN，

∴CH=BN，

∵∠ACB=90,CA=CB，

∴∠EDA=45°，

∵DE⊥AB，

∴△AED為等腰直角三角形，

∴AD=DE，

∵AH⊥CD，EM⊥CD，

∴∠AHD=∠DME=90°，

∴∠DAH+∠ADH=90°，

∵∠ADH+∠EDM=90°，

∴∠DAH=∠EDM，

在Rt△ADH和Rt△DEM中，

,

∴Rt△ADH≌Rt△DEM，

∴EM=DH，

∵CH=CD+DH，CH=BN，

∴BN= CD+DH= CD+EM.