Question

【題目】如圖，中，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角堅(jiān)標(biāo)系，使點(diǎn)在軸正半軸上，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)

(1)填空：直線的解析式為 ；拋物線的解析式為 ．

(2)現(xiàn)將該拋物線沿著線段移動，使其頂點(diǎn)始終在線段上(包括點(diǎn)，)，拋物線與軸的交點(diǎn)為，與邊的交點(diǎn)為；

①設(shè)的面積為，求的取值范圍；

②是否存在這樣的點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形？如存在，求出此時拋物線的解析式；如不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x，y=x2 ；（2）①，②存在，

【解析】

（1）本題須先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)然后即可求出直線OC的解析式和拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)拋物線的移動規(guī)律設(shè)出拋物線的解析式，求出△BOE的面積S與m的關(guān)系，再根據(jù)m的取值范圍即可求出S的取值范圍；

②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出m的值．

解：（1）∵OA=2，AB=8，點(diǎn)C為AB邊的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為y=kx
則4=2k，解得k=2
∴直線的解析式為y=2x，
設(shè)拋物線的解析式為y=kx2
則4=4k，解得k=1
∴拋物線的解析式為y=x2；

（2）設(shè)移動后拋物線的解析式為y=（x-m）2+2m，

① ∵，

，

又∵，

∴；

②存在點(diǎn)D，使四邊形BDOC為平行四邊形，

當(dāng)OD=BC，四邊形BDOC為平行四邊形，

∴OD=BC==4，

則可得x=0時y=4，

∴m2+2m=4，

∴（m+1）2=5，

解得或（舍去），

所以，

∴．