Question

（2012•欽州）如圖甲，在平面直角坐標系中，A、B的坐標分別為（4，0）、（0，3），拋物線y=

3

4

x²+bx+c經過點B，且對稱軸是直線x=-

5

2

．
（1）求拋物線對應的函數解析式；
（2）將圖甲中△ABO沿x軸向左平移到△DCE（如圖乙），當四邊形ABCD是菱形時，請說明點C和點D都在該拋物線上；
（3）在（2）中，若點M是拋物線上的一個動點（點M不與點C、D重合），經過點M作MN∥y軸交直線CD于N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為l，求l與t之間的函數解析式，并求當t為何值時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸是直線x=-

b

2a

．）

Answer 1

分析：（1）拋物線y=ax²+bx+c中，（0，c）代表的是拋物線與y軸的交點，x=-

b

2a

是拋物線的對稱軸，據此確定待定系數．
（2）已知A、B點的坐標，由勾股定理能求出AB的長，若四邊形ABCD是菱形，那么AD=BC=AB，可據此求出C、D點的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
（3）在求l與t之間的函數解析式時，要分兩種情況：①拋物線在直線CD上方、②拋物線在直線CD下方；先根據直線CD與拋物線的解析式，表示出M、N的坐標，它們縱坐標的差即為l的長，當以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形時，由于CE∥MN∥y軸，那么CE必與MN相等，將CE長代入l、t的函數關系式中，即可求出符合條件的t的值．

解答：解：（1）由于拋物線y=

3

4

x²+bx+c與y軸交于點B（0，3），則 c=3；
∵拋物線的對稱軸 x=-

b

2a

=-

5

2

，
∴b=5a=

15

4

；
即拋物線的解析式：y=

3

4

x²+

15

4

x+3．

（2）∵A（4，0）、B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=

OA2+OB2

=5；
若四邊形ABCD是菱形，則 BC=AD=AB=5，
∴C（-5，3）、D（-1，0）．
將C（-5，3）代入y=

3

4

x²+

15

4

x+3中，得：

3

4

×（-5）²+

15

4

×（-5）+3=3，所以點C在拋物線上；
同理可證：點D也在拋物線上．

（3）設直線CD的解析式為：y=kx+b，依題意，有：

-5k+b=3 -k+b=0

，解得

k=- 3 4 b=- 3 4

∴直線CD：y=-

3

4

x-

3

4

．
由于MN∥y軸，設 M（t，

3

4

t²+

15

4

t+3），則 N（t，-

3

4

t-

3

4

）；
①t＜-5或t＞-1時，l=MN=（

3

4

t²+

15

4

t+3）-（-

3

4

t-

3

4

）=

3

4

t²+

9

2

t+

15

4

；
②-5＜t＜-1時，l=MN=（-

3

4

t-

3

4

）-（

3

4

t²+

15

4

t+3）=-

3

4

t²-

9

2

t-

15

4

；
若以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，由于MN∥CE，則MN=CE=3，則有：

3

4

t²+

9

2

t+

15

4

=3，解得：t₁=-3+2

2

，t₂=-3-2

2

；
-

3

4

t²-

9

2

t-

15

4

=3，解得：t=-3；
綜上，l=

3 4 t2+ 9 2 t+ 15 4 (t＜-5或t＞-1) - 3 4 t2- 9 2 t- 15 4 (-5＜t＜-1)

且當t=-3+2

2

，t=-3-2

2

或-3時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：這道二次函數綜合題涉及的內容并不復雜，主要有：函數解析式的確定以及菱形、平行四邊形的性質；最后一題容易出錯，一定要注意函數解析式對應的自變量取值范圍，以免出錯．