Question

已知：直線y=-2x+4交x軸于點A，交y軸于點B，點C為x軸上一點，AC=1，且OC＜OA．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A、B、C．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）點D的坐標為（-3，0），點P為線段AB上的一點，當銳角∠PDO的正切值是

1

2

時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，該拋物線上的一點E在x軸下方，當△ADE的面積等與四邊形APCE的面積時，求點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據直線解析式求出點A、B的坐標，再求出點C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）根據點D的坐標求出OD的長，再根據∠PDO的正切值求出PD與y軸的交點F的坐標，然后利用待定系數法求出直線PD的解析式，再與直線y=-2x+4聯立求解即可得到點P的坐標；
（3）設點E到x軸的距離為h，根據點A、C、D的坐標求出AC、AD的長，然后根據三角形的面積公式列式計算求出h，從而得到點E的縱坐標，再代入拋物線解析式求出點E的橫坐標，即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則-2x+4=0，
解得x=2，
令x=0，則y=4，
所以，點A（2，0），B（0，4），
∵AC=1，且OC＜OA，
∴點C的坐標為（1，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A、B、C，
∴

4a+2b+c=0 c=4 a+b+c=0

，
解得

a=2 b=-6 c=4

，
∴該拋物線的表達式為y=2x²-6x+4；

（2）∵D的坐標為（-3，0），
∴OD=3，
設PD與y軸的交點為F，
∵∠PDO的正切值是

1

2

，
∴OF=

1

2

•OD=

1

2

×3=

3

2

，
∴點F的坐標為（0，

3

2

），
設直線PD的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數），
則

-3k+b=0 b= 3 2

，
解得

k= 1 2 b= 3 2

，
所以，直線PD的解析式為y=

1

2

x+

3

2

，
聯立

y= 1 2 x+ 3 2 y=-2x+4

，
解得

x=1 y=2

，
∴點P的坐標為（1，2）；

（3）設點E到x軸的距離為h，
∵A（2，0），（1，0），D（-3，0），
∴AC=1，AD=2-（-3）=5，
∵△ADE的面積等于四邊形APCE的面積，
∴

1

2

×5h=

1

2

×1h+

1

2

×1×2，
解得h=

1

2

，
∵點E在x軸的下方，
∴點E的縱坐標為-

1

2

，
∴2x²-6x+4=-

1

2

，
整理得，4x²-12x+9=0，
解得x=

3

2

，
∴點E的坐標為（

3

2

，-

1

2

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，聯立兩直線解析式求交點坐標的方法，三角形的面積，綜合題，但難度不大，作出圖形更形象直觀．