Question

【題目】已知，如圖①，∠MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點（點A，B不與點O重合），且AB=4 ，在∠MON的內部，△AOB的外部有一點P，且AP=BP，∠APB=120°．

（1）求AP的長；
（2）求證：點P在∠MON的平分線上．
（3）如圖②，點C，D，E，F分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，連接CD，DE，EF，FC，OP．
①當AB⊥OP時，請直接寫出四邊形CDEF的周長的值；
②若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖

過點P作PQ⊥AB于點Q．

∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4

∴AQ=BQ=2 ，∠APQ=60°（等腰三角形的“三線合一”的性質），

在Rt△APQ中，sin∠APQ=

∴AP= = = =4

（2）

證明：過點P分別作PS⊥OM于點S，PT⊥ON于點T．∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定義）；

在四邊形OSPT中，∠SPT=360°﹣∠OSP﹣∠SOB﹣∠OTP=360°﹣90°﹣60°﹣90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°，∴∠APS=∠BPT；

又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，

∴△APS≌△BPT，

∴PS=PT（全等三角形的對應邊相等）

∴點P在∠MON的平分線上；

（3）

解：①∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，

∴AQ=BQ= AB=2 ，

∴OQ= =6，

同理：PQ= =2，

∴OP=8，

∵點C，D，E，F分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，

∴CD=EF= AB，CF=DE= OP，

∴四邊形CDEF的周長為：8+4

②CD和EF是△ABO和△ABP的中位線，

則CD=EF= AB=2 ，

CF和DE分別是△AOP和△BOP的中位線，則CF=DE= OP，

當AB⊥OP時，OP為四點邊形AOBP外接圓的直徑時，OP最大，其值是8，OP一定大于當點A或B與點O重合時的長度是4．

則4+4 ＜t≤8+4

【解析】（1）過點P作PQ⊥AB于點Q．根據等腰三角形的“三線合一”的性質推知AQ=BQ= AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數的定義可以求得AP的長度；（2）作輔助線PS、PT（過點P分別作PS⊥OM于點S，PT⊥ON于點T）構建全等三角形△APS≌△BPT；然后根據全等三角形的性質推知PS=PT；最后由角平分線的性質推知點P在∠MON的平分線上；（3）利用三角形中位線定理知四邊形CDEF的周長的值是OP+AB．①當AB⊥OP時，根據直角三角形中銳角三角函數的定義可以求得OP的長度；②當AB⊥OP時，OP取最大值，即四邊形CDEF的周長取最大值；當點A或B與點O重合時，四邊形CDEF的周長取最小值．
【考點精析】通過靈活運用角平分線的性質定理和三角形中位線定理，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半即可以解答此題．