Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2=CECA．
（1）求證：BC=CD；
（2）分別延長AB，DC交于點P，過點A作AF⊥CD交CD的延長線于點F，若PB=OB，CD= ，求DF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DC2=CECA，

∴ = ，

△CDE∽△CAD，

∴∠CDB=∠DAC，

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴BC=CD；

（2）解：方法一：如圖，連接OC，

∵BC=CD，

∴∠DAC=∠CAB，

又∵AO=CO，

∴∠CAB=∠ACO，

∴∠DAC=∠ACO，

∴AD∥OC，

∴ = ，

∵PB=OB，CD= ，

∴ =

∴PC=4

又∵PCPD=PBPA

∴4 （4 +2 ）=OB3OB

∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，

在Rt△ACB中，

AC= = =2 ，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠ACB=90°

∴∠FDA+∠BDC=90°

∠CBA+∠CAB=90°

∵∠BDC=∠CAB，

∴∠FDA=∠CBA，

又∵∠AFD=∠ACB=90°，

∴△AFD∽△ACB

∴

在Rt△AFP中，設FD=x，則AF= ，

∴在Rt△APF中有， ，

求得DF= ．

方法二；連接OC，過點O作OG垂直于CD，

易證△PCO∽△PDA，可得 = ，

△PGO∽△PFA，可得 = ，

可得， = ，由方法一中PC=4 代入 ，

即可得出DF=

【解析】（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出結論．（2）連接OC，先證AD∥OC，由平行線分線段成比例性質定理求得PC= ，再由割線定理PCPD=PBPA求得半徑為4，根據勾股定理求得AC= ，再證明△AFD∽△ACB，得 ，則可設FD=x，AF= ，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出關于x的方程，求解得DF．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．