Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E是BC的中點，點P為對角線BD上的動點，設BP＝t(t＞0)，作PH⊥BC于點H，連接EP并延長至點F，使得PF＝PE，作點F關于BD的對稱點G，FG交BD于點Q，連接GH，GE．

(1)求證：EG∥PQ；

(2)當點P運動到對角線BD中點時，求△EFG的周長；

(3)在點P的運動過程中，△GEH是否可以為等腰三角形？若可以，求出t的值；若不可以，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)△EFG的周長；(3)t的值為2或或．

【解析】

（1）由對稱性質可知，PQ是△EFG的中位線，得到EG∥PQ；（2）先利用對稱與平行線性質求出△BCD的周長，然后證得△BCD∽△FGE，兩者周長比為相似比，得到△EFG的周長；（3）Rt△BPH中，BP＝t，cos∠PBH，得，BHt，E是BC的中點得到BE＝CEBC＝4；△GEH為等腰三角形分成三種情況，

①EH＝EG，在Rt△EMG利用cos∠MEG與Rt△BQM中利用cos∠QBM列出方程解出t即可；②EG＝GH，過G作GK⊥BC于K，利用cos∠KEG與cos∠QBR列出方程解出t即可；③EH＝EG時，延長FG交BC于K，利用cos∠GEK 與cos∠QBK列出方程解出t即可

(1)證明：如圖1，∵F、G關于BD對稱，

∴FG⊥BD，FQ＝QG，

∵PF＝PE，

∴PQ是△EFG的中位線，

∴EG∥PQ；

(2)解：∵PH⊥BC，DC⊥BC，

∴PH∥DC，

∴，

當P為BD的中點時，即BP＝PD，

∴BH＝CH，此時E與H重合，如圖2，

∴PHDCAB6＝3，

∴EF＝2PE＝6，

Rt△BCD中，BC＝8，CD＝6，

∴BD＝10，

∴△BCD的周長＝6+8+10＝24，

∵EG∥BD，

∴∠G＝∠PQF＝90°＝∠C，

∵∠PFQ＝∠CBD，

∴△BCD∽△FGE，

∴，即，

∴△EFG的周長；

(3)解：Rt△BPH中，BP＝t

cos∠PBH

∴，BHt

∵E是BC的中點

∴BE＝CEBC＝4

在點P的運動過程中，△GEH可以為等腰三角形，有以下三種情況：

①當EH＝EG＝4t時，如圖3，

Rt△EMG中，cos∠MEG，EMEG(4t)＝5﹣t，

∴BM＝BE﹣EM＝4﹣(5﹣t)＝t﹣1，

由(1)知：PQEG＝2t，

∴BQ＝BP﹣PQ＝t﹣(2t)t﹣2，

Rt△BQM中，cos∠QBM，即，t＝2；

②當EG＝GH時，如圖4，過G作GK⊥BC于K，

∴EK＝KG2t，

cos∠KEG，

∴EGEK，EREGEKEK(2t)t，

∴BR﹣4﹣ER＝4tt，

∵PQEG(2t)t，

∴BQ＝BP﹣PQ＝t﹣(t)t，

Rt△BQR中，cos∠QBR，即，t；

③當EH＝EG時，如圖5，延長FG交BC于K，

EH＝EG＝4t，

∴PQ＝2t，

∴BQ＝t+PQ＝2t，

Rt△EGK中，cos∠GEK，

EK5﹣t，

BK＝4+5﹣t＝9﹣t，

Rt△BQK中，cos∠QBK，，t，

綜上，t的值為2或或．