Question

【題目】如圖，一次函數y =﹣4x﹣4的圖像與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線y=的圖像經過A、C兩點，且與x軸交于點B．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點E,使點E到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出此點E的坐標；

（3）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC、BC于點M、N．問在x軸上是否存在點P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E；（3）或或

【解析】

（1）求出一次函數y =﹣4x﹣4與坐標軸交點A、C的坐標，代入拋物線解析式進行求解即可；

（2）點A，點B關于拋物線對稱軸x=1對稱，當B、E、C三點共線時，點E到點A的距離與到點C的距離之和最小，令y=0求出點B的坐標，用待定系數法求出BC解析式，BC與對稱軸的交點即為E點；

（3）以直角頂點進行分類，分3種情況，設M、N的縱坐標為a，表示出相應線段，再根據等腰直角三角形的性質進行求解即可．

解：（1）∵一次函數y=﹣4x﹣4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，

∴A （﹣1，0），C （0，﹣4），

把A （﹣1，0），C （0，﹣4）代入得

∴，解得　，

∴；

（2）∵=，

對稱軸是直線x=1，

∴A, B關于直線x=1對稱

∴直線BC與對稱軸直線x=1的交點即為E點

此時點E到點A的距離與到點C的距離之和最�。�

把y=0代入，得，

解得：，，

∴B，∵C，

易求直線CB的解析式為，

把x=1代入，得y=，

∴E，

（3）∵DP∥AB

設M、N的縱坐標為a，

AC所在直線的解析式為y=﹣4x﹣4, BC所在直線的解析式為：，

則M ，N，

①當∠PMN=90°，MN=a+4，PM=﹣a，因為是等腰直角三角形，則﹣a=a+4 則a=﹣2 則P的橫坐標為，

即P點坐標為；

②當∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=﹣2，則P的橫坐標為，

即P點坐標為；

③當∠MPN=90°，作MN的中點Q，連接PQ，則PQ=﹣a，

又PM=PN，∴PQ⊥MN，則MN=2PQ，即：a+4=﹣2a，

解得：a=，

點P的橫坐標為：　，

即P點的坐標為．

綜合上述P坐標為或或．