Question

【題目】已知直線l經過A(6，0)和B(0，12)兩點，且與直線y＝x交于點C，點P(m，0)在x軸上運動．

(1)求直線l的解析式；

(2)過點P作l的平行線交直線y＝x于點D，當m＝3時，求△PCD的面積；

(3)是否存在點P，使得△PCA成為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣2x+12；(2)S△PCD＝3；(3)存在，P點坐標為(1，0)或(6+2，0)或(6﹣2，0)或(2，0)．

【解析】

（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法即可求得直線l的解析式；

（2）聯立直線l和直線y＝x，可求得C點坐標，由條件可求得直線PD的解析式，同理可求得D點坐標，則可分別求得△POD和△POC的面積，則可求得△PCD的面積；

（3）由P、A、C的坐標，可分別表示出PA、PC和AC的長，由等腰三角形的性質可得到關于m的方程，則可求得m的值，則可求得P的坐標．

解：(1)設直線l解析式為y＝kx+b，

把A、B兩點坐標代入可得，解得，

∴直線l解析式為y＝﹣2x+12；

(2)解方程組，可得，

∴C點坐標為(4，4)，

設PD解析式為y＝﹣2x+n，把P(3，0)代入可得0＝﹣6+n，解得n＝6，

∴直線PD解析式為y＝﹣2x+6，

解方程組，可得，

∴D點坐標為(2，2)，

∴S△POD＝×3×2＝3，S△POC＝×3×4＝6，

∴S△PCD＝S△POC﹣S△POD＝6﹣3＝3；

(3)∵A(6，0)，C(4，4)，P(m，0)，

∴PA2＝(m﹣6)2＝m2﹣12m+36，

PC2＝(m﹣4)2+42＝m2﹣8m+32，

AC2＝(6﹣4)2+42＝20，

當△PAC為等腰三角形時，則有PA＝PC、PA＝AC或PC＝AC三種情況，

①當PA＝PC時，則PA2＝PC2，即m2﹣12m+36＝m2﹣8m+32，

解得m＝1，此時P點坐標為(1，0)；

②當PA＝AC時，則PA2＝AC2，即m2﹣12m+36＝20，

解得m＝6+2或m＝6﹣2，此時P點坐標為(6+2，0)或(6﹣2，0)；

③當PC＝AC時，則PC2＝AC2，即m2﹣8m+32＝20，解得m＝2或m＝6，當m＝6時，P與A重合，舍去，此時P點坐標為(2，0)；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為(1，0)或(6+2，0)或(6﹣2，0)或(2，0)．