Question

【題目】如圖，∠MON=120°，△ABC是等邊三角形，O點是邊BC的中點，將△ABC繞點O逆時針旋轉一定的角度，OM與邊AB相交于點D，ON與邊AC（或AC的延長線）相交于點E．

（1）如圖1，若OD⊥AB，垂足為D，BC=4，求CE的長；

（2）如圖2，當ON與AC邊交于點E時，求證：BD+CE=BC；

（3）如圖3，當ON與AC邊的延長線交于點E時，（2）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請直接寫出線段BD、BC、CE之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）1(2)見解析（3）不成立

【解析】【試題分析】（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得：∠B=∠C=60°，

因為點O是線段BC的中點，

根據中點的定義得：BO=OC=BC=2．

因為OD⊥AB，得∠ODB=∠ODA=90°，

根據三角形內角和定理得：∠BOD=180°﹣60°﹣90°=30°，

在Rt△OBD中，BD=OB=×2=1；

又∠OEA=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，

即∠OEC=90°，

根據AAS得：△OBD≌△OCE，

根據全等三角形的性質得：CE=BD=1；

（2）轉化為（1），利用相同的思路證明即可；

（3）（2）中的結論不成立，線段BD、BC、CE之間的數量關系為BD﹣CE=BC．

理由： 由（1）知△OBP≌△OCQ，

根據全等三角形的性質得：BP=CQ，OP=OQ．

因為∠A=60°，利用四邊形的內角和得：∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．

因為∠DOE=120°，利用等式的 性質得：∠POD=∠QOE．

根據ASA得：△POD≌△QOE，根據全等三角形的性質得：PD=EQ．在Rt△BOP中，∠B=60°，根據30°所對的直角邊是斜邊的一半得：BP=OB=BC

得證：BD﹣CE=BP+PD﹣CE=CQ+EQ﹣CE=CQ+CQ+CE﹣CE=2CQ=2BP=2×BC=BC．

【試題解析】

（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵點O是線段BC的中點，

∴BO=OC=BC=2．

∵OD⊥AB，得∠ODB=∠ODA=90°，

∴∠BOD=180°﹣60°﹣90°=30°，

在Rt△OBD中，BD=OB=×2=1；

又∠OEA=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，

∴∠OEC=90°，

∴△OBD≌△OCE，

∴CE=BD=1；

（2）過點O作OP⊥AB于P，作OQ⊥AC于Q，如圖2，

則有∠OPD=∠OQE=90°．

同（1）的方法得，△OBP≌△OCQ，

∴OP=OQ．

∵∠A=60°，

∴∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．

∵∠DOE=120°，

∴∠POD=∠QOE．

∴△POD≌△QOE，

∴PD=EQ．

∴BD+CE=BP+PD+CE=BP+EQ+CE=BP+CQ=2BP=2×OB=BC．

（3）（2）中的結論不成立，線段BD、BC、CE之間的數量關系為BD﹣CE=BC．

理由：如圖3，過點O作OP⊥AB于P，作OQ⊥AC于Q，

則有∠OPD=∠OQE=90°．

由（1）知△OBP≌△OCQ，

∴BP=CQ，OP=OQ．

∵∠A=60°，

∴∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．

∵∠DOE=120°，

∴∠POD=∠QOE．

∴△POD≌△QOE，

∴PD=EQ．

在Rt△BOP中，∠B=60°，

∴BP=OB=BC

∴BD﹣CE=BP+PD﹣CE=CQ+EQ﹣CE=CQ+CQ+CE﹣CE=2CQ=2BP=2×BC=BC．