Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數 y＝ax2+bx+c 的圖象交 x 軸于A、B 兩點，交 y 軸于 C 點，P 為 y 軸上的一個動點，已知 A（﹣2，0）、C（0，﹣2 ），且拋物線的對稱軸是直線 x＝1．

(1)求此二次函數的解析式；

(2)連接 PB，則 PC+PB 的最小值是 ；

(3)連接 PA、PB，P 點運動到何處時，使得∠APB＝60°，請求出 P 點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2 ；（2）3；（3）P（0，+ ），（0，﹣﹣）．

【解析】

(1)根據待定系數法，可得答案；(2)連接 AC，作 BH⊥AC 于 H，交 OC 于 P，此時PC+PB 最小．最小值就是線段 BH，求出 BH 即可．(3)根據勾股定理，可得 PA，PB，根據銳角三角函數，可得 BC 的長，根據三角形的面積，可得關于 n 的方程，根據解方程，可得答案．

（1）將 A，C 點坐標代入函數解析式，及對稱軸，得

解得

拋物線的解析式為 y＝x2﹣x﹣2 ，

(2)連接 AC，作 BH⊥AC 于 H，交 OC 于 P，如圖 1，此時PC+PB 最小．

理由：當 y＝0 時，x2﹣x﹣2＝0，解得 x＝﹣2（舍）x＝4，即 B（4，0）， AB＝4﹣（﹣2）＝6．

∵OA＝2，OC＝2 ，

∴tan∠ACO＝ ，

∴∠ACO＝30°，

∴PH＝PC，

∴PC+PB＝PH+PB＝BH，

∴此時PB+PD 最短（垂線段最短）．

在 Rt△ABH 中，∵∠AHB＝90°，AB＝4﹣（﹣2）＝6，∠HAB＝60°，

∴sin60°＝＝，

∴BH＝6×＝3，

∴PC+PB 的最小值為 3， 故答案為：3．

(3)如圖 2，作 BC⊥PA 于 C，設 P（0，n），由勾股定理，得 PB＝ ，PA＝ ，

由 sin∠APB＝sin60°，得∠CPB＝ ，

∴BC＝，

由 S△PAB＝AB|n|＝ APBC，得

6|n|＝ ,

化簡，得 n4﹣28n2+64＝0，

解得 n＝14+2，n＝14﹣2 （不符合題意，舍）

＝ ＝+，＝﹣＝﹣﹣

∴P（0，+），（0，﹣﹣）．