Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（0，2），點C是x軸上的一個動點．當點C在x軸上移動時，始終保持△ACP是等邊三角形（點A、C、P按逆時針方向排列）；當點C移動到點O時，得到等邊三角形AOB（此時點P與點B重合）

初步探究

（1）寫出點B的坐標 ；

（2）點C在x軸上移動過程中，當等邊三角形ACP的頂點P在第三象限時，連接BP，求證：△AOC≌△ABP．

深入探究

（3）當點C在x軸上移動時，點P也隨之運動．探究點P在怎樣的圖形上運動，請直接寫出結論；

拓展應用

（4）點C在x軸上移動過程中，當△POB為等腰三角形時，直接寫出此時點C的坐標．

Answer 1

【答案】(1)(，1)；(2)證明見解析；(3)點P在過點B且垂直于AB的直線上； (4)點C的坐標為：(2，0)或(-，0)或(-2，0)或C(-2，0).

【解析】

(1)如圖1中，作BH⊥OA于H，利用等邊三角形的性質，解直角三角形求出BH、OH即可得答案；

(2)由等邊三角形的性質可得AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，繼而可得∠CAO=∠PAB，利用SAS即可得證；

(3)由△AOC≌△ABP，可得∠ABP=∠AOC=90°，繼而可得 點P在過點B且垂直于AB的直線上；

(4)分4種情況，①點C在x軸正半軸上，點P在第一象限時，BP=OB；②點C在x軸負半軸，點P在x軸正半軸時，OP=BP；③點C在x軸負半軸，點P在第四象限時，BP=OB；④點C在x軸負半軸，點P在y軸負半軸，針對四種情況分別畫出圖形并求解即可得.

(1)如圖1中，作BH ⊥OA于H，

∵A(0，2)，

∴OA=2，

∵△AOB是等邊三角形，

∴OA=OB=AB=2，∠BOH=60°，

在Rt△OBH中，OH=AH=1，BH==，

∴B(，1)；

(2)如圖2，

∵△AOB與△ACP都是等邊三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

即∠CAO=∠PAB，

∴△AOC≌△ABP(SAS)；

(3)如圖2中，∵△AOC≌△ABP，

∴∠ABP=∠AOC=90°，

∴PB⊥AB，

∴點P在過點B且垂直于AB的直線上；

(4)①如圖3，當點C在x軸正半軸上，點P在第一象限時，BP=OB=2，

∵∠ABP=90°，

∴AP==2，

∴AC=AP=2，

∴OC=，

∴C(2，0)；

②如圖4，當點C在x軸負半軸，點P在x軸正半軸時，OP=BP，此時AP垂直平分OB，

∴∠OAP=30°，

∴AP=PC=2OP，

∵AO2+OP2=AP2，即22+OP2=4OP2，

∴OP=，

∴OC=，

∴C(-，0)；

③如圖5，當點C在x軸負半軸，點P在第四象限時，BP=OB=2，

∵∠ABP=90°，

∴AP==2，

∴AC=AP=2，

∴OC=，

∴C(-2，0)；

④如圖6，當點C在x軸負半軸，點P在y軸負半軸時，OP=OB=2，

此時AP=2OP=4，∴AC=AP=4，

∵∠AOC=90°，OA=2，

∴OC=，

∴C(-2，0)；

綜上，點C的坐標為：(2，0)或(-，0)或(-2，0)或C(-2，0).