Question

【題目】已知在四邊形ABCD中，點E、F分別是BC、CD邊上的一點．

（1）如圖1：當四邊形ABCD是正方形時，且∠EAF＝45°，則EF、BE、DF滿足的數量關系是　 　，請說明理由；

（2）如圖2：當AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF是∠BAD的一半，問：（1）中的數量關系是否還存在？　 　（填是或否）

（3）在（2）的條件下，將點E平移到BC的延長線上，請在圖3中補全圖形，并寫出EF、BE、DF的關系．

Answer 1

【答案】（1）EF＝BE+DF，理由詳見解析；（2）是；（3）圖詳見解析，EF＝BE﹣DF．

【解析】

（1）先判斷出△ABM≌△ADF，進而得出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，然后由∠EAF＝45°，證得∠EAM＝∠EAF，繼而證得△EAM≌△EAF，繼而證得結論；

（2）首先延長CB到P使BP＝DF，證得△ABP≌△ADF（SAS），再證得△APE≌△AFE（SAS），繼而證得結論；

（3）首先在BC上截取BP＝DF，證得△ABP≌△ADF（SAS），再證得△APE≌△AFE（SAS），即可得EF＝BE﹣BP＝BE﹣DF．

解：（1）EF＝BE+DF，

理由：如圖1，延長CB至M，使BM＝DF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABM＝∠D＝90°，

在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，

∵四邊形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝45°，

∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝45°，

∴∠EAM＝∠EAF，

在△EAM和△EAF中，

，

∴△EAM≌△EAF（SAS），

∴EF＝EM＝BM+BE＝BE+DF；

故答案為：EF＝BE+DF；

（2）是存在，

理由如下：延長CB到P使BP＝DF，

∵∠ABC＝∠D＝90°，

∴∠ABP＝90°，

∴∠ABP＝∠D，

在△ABP和△ADF中，

，

∴△ABP≌△ADF（SAS），

∴AP＝AF，∠BAP＝∠DAF，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

∴∠BAP+∠FAD＝∠EAF，

即：∠EAP＝∠EAF，

在△APE和△AFE中，

，

∴△APE≌△AFE（SAS），

∴PE＝FE，

∴EF＝BE+DF；

故答案為：是；

（3）如圖3，補全圖形．

證明：在BC上截取BP＝DF，

∵∠B＝∠ADC＝90°，

∴∠ADF＝90°，

∴∠B＝∠ADF，

在△ABP和△ADF中，

，

∴△ABP≌△ADF（SAS），

∴AP＝AF，∠BAP＝∠DAF，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠DAE+∠DAF＝∠BAD，

∴∠BAP+∠EAD＝∠BAD，

∴∠EAP＝∠BAD＝∠EAF，

在△APE和△AFE中，

，

∴△APE≌△AFE（SAS），

∴PE＝FE，

∴EF＝BE﹣BP＝BE﹣DF．