Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線BD平分∠ABC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于點F.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠ABC＝45°，BC＝1，求EF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出結論；

（2）由菱形的性質得出AB=CD=BC=1，證明四邊形ABDE是平行四邊形，∠ECF=∠ABC=45°，得出AB=DE=1，CE=CD+DE=2，在Rt△CEF中，由等腰直角三角形的性質和勾股定理即可求出EF的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CD=BC=1，

∵AB∥CD，AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，∠ECF=∠ABC=45°，

∴AB=DE=1，

∴CE=CD+DE=2，

∵EF⊥BC，∠ECF=45°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF=CF=CE=．