Question

【題目】（背景）某班在一次數學實踐活動中，對矩形紙片進行折疊實踐操作，并將其產生的數學問題進行相關探究． （操作）如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，點P是BC邊上一點，現將△APB沿AP對折，得△APM，顯然點M位置隨P點位置變化而發生改變
（問題）試求下列幾種情況下：點M到直線CD的距離

（1）∠APB=75°；
（2）P與C重合；
（3）P是BC的中點．

Answer 1

【答案】
（1）解：當∠APB=75°時，如圖1，過M作EF⊥AD，則EF⊥BC，

∵∠AMP=∠B=∠MFP=90°，

∴∠AME=∠MPF，

∴△AEM∽△MFP，

∵∠APB=75°，

∴∠MPF=30°，

∵AM=AB=4，

∴AE=2，

∴DE=4

（2）解：當P與C重合，如圖2，過M作GH∥AD交BA，CD的延長線于G，H，

則四邊形ADHG是矩形，

∵∠AMP=∠ABC=∠AMC=90°，

∴∠AMG=∠MPH，

∴△AMG∽△MHP，

設AG=x，則DH=x，

∴PH=4+x，

∴ ，

∴MH= x，

在Rt△MHP中，MH2+PH2=MC2，

即（ x）2+（4x）2=62，

∴x= （負值舍去），

∴MH=

（3）解：當P是BC的中點時，如圖3，過M作EF∥AB交AB，BC于E，F，

∵P是BC的中點，

∴BP=3，

設PF=x，則BF=3+x，

∴AE=3+x，

由折疊的性質得，AM=AB=4，PM=PB=3，∠AMP=∠B=90°，

∴△AEM∽△MFP，

∴ ，

∴EM= x，

在Rt△AEM中，

AE2+EM2=AM2，

即（ x）2+（3+x）2=42，

∴x= （負值舍去），

∴DE= ．

【解析】（1）如圖1，過M作EF⊥AD，則EF⊥BC，由∠AMP=∠B=∠MFP=90°，得到∠AME=∠MPF，推出△AEM∽△MFP，根據已知條件得到∠MPF=30°，AE=2，即可得到結論；（2）如圖2，過M作GH∥AD交BA，CD的延長線于G，H，則四邊形ADHG是矩形，推出△AMG∽△MHP，設AG=x，則DH=x，得到PH=4+x，列比例式得到MH= x，根據勾股定理得到x= （負值舍去），即可得到結論；（3）當P是BC的中點時，如圖3，過M作EF∥AB交AB，BC于E，F，推出△AEM∽△MFP，根據相似三角形的性質得到 ，得到EM= x，根據勾股定理列方程即可得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用翻折變換（折疊問題）的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．