Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；

（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（，0）；（3）4，M（2，﹣3）．

【解析】試題分析：方法一：

（1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可．

（2）首先根據拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．

（3）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．

方法二：

（1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可．

（2）通過求出A，B，C三點坐標，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，從而求出圓心坐標．

（3）利用三角形面積公式，過M點作x軸垂線，水平底與鉛垂高乘積的一半，得出△MBC的面積函數，從而求出M點．

試題解析：解：方法一：

（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：　0=16a﹣×4﹣2，即：a=，∴拋物線的解析式為： ．

（2）由（1）的函數解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2；

設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：

x+b=，即： ，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；

∴直線l：y=x﹣4．

所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有： ，解得：

即 M（2，﹣3）．

過M點作MN⊥x軸于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

方法二：

（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：　0=16a﹣×4﹣2，即：a=，∴拋物線的解析式為： ．

（2）∵y=（x﹣4）（x+1），∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），∴KAC= =﹣2，KBC= =，∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，△ABC的外接圓的圓心是AB的中點，△ABC的外接圓的圓心坐標為（，0）．

（3）過點M作x軸的垂線交BC′于H，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴lBC：y=x﹣2，設H（t， t﹣2），M（t， ），∴S△MBC=×（HY﹣MY）（BX﹣CX）=×（t﹣2﹣）（4﹣0）=﹣t2+4t，∴當t=2時，S有最大值4，∴M（2，﹣3）．