Question

【題目】閱讀下面的學習材料(研學問題)，嘗試解決問題：

(a)某學習小組在學習時遇到如下問題：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為邊BC上一點，DA＝DB，E為AD延長線上一點，∠AEB＝120°，猜想BC、EA、EB的數量關系，并證明結論．大家經探究發現：過點B作BF⊥AE交AE的延長線于F，如圖②所示，構造全等三角形使問題容易求解，請寫出解答過程．

(b)參考上述思考問題的方法，解答下列問題：

如圖③，等腰△ABC中，AB＝AC，H為AC上一點，在BC的延長線上順次取點E、F，在CB的延長線上取點BD，使EF＝DB，過點E作EG∥AC交DH的延長線于點G，連接AF，若∠HDF+∠F＝∠BAC．

(1)探究∠BAF與∠CHG的數量關系；

(2)請在圖中找出一條和線段AF相等的線段，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(a)BC＝AE+BE．證明見解析；(b)(1)∠CHG＝∠BAF；(2)AF＝DG，證明見解析.

【解析】

（a）如圖②中，結論：BC＝AE+BE．理由如下，只要證明△BAF≌△ABC，推出BC＝AF，再證明EF＝BE，可得BC＝AF＝AE+EF＝AE+BE；

（b）（1）由∠F+∠FDG＝∠BAC，推出∠CHG＝∠FDG+∠DCH＝∠FDG+∠F+∠CAF＝∠BAC+∠CAF＝∠BAF；

（2）結論：AF＝DG．如圖③中，延長BD到R，使得BR＝CF，連接AR，作AJ∥CF交EG的延長線于J．首先證明四邊形ACEJ，四邊形AJDR是平行四邊形，再證明△ABF≌△JED，想辦法證明∠1＝∠2，即可解決問題．

解：(a)如圖②中，結論：BC＝AE+BE．理由如下，

∵DA＝DB，

∴∠DBA＝∠DAB，

∵AF⊥BF，

∴∠F＝∠C＝90°，

在△BAF和△ABC中， ，

∴△BAF≌△ABC(AAS)，

∴BC＝AF，

∵∠AEB＝120°＝∠F+∠FBE，

∴∠FBE＝30°，

∴EF＝BE，

∴BC＝AF＝AE+EF＝AE+BE，

∴BC＝AE+BE；

(b)(1)如圖③中，

∵∠HDF+∠F＝∠BAC，

∴∠CHG＝∠FDG+∠DCH＝∠FDG+∠F+∠CAF＝∠BAC+∠CAF＝∠BAF，

∴∠CHG＝∠BAF；

(2)結論：AF＝DG．理由如下，

如圖③中，延長BD到R，使得BR＝CF，連接AR，作AJ∥CF交EG的延長線于J，

∵AJ∥CE，AC∥JE，

∴四邊形ACEJ是平行四邊形，

∴AJ＝CE，AC＝JE，

∵AB＝CA，

∴JE＝AB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABR＝∠ACF，

在△ABR和△ACF中， ，

∴△ABR≌△ACF(SAS)，

∴AR＝AF，

∵BR＝CF，BD＝EF，

∴DR＝CE＝AJ，ED＝BF，

∵AJ∥RD，

∴四邊形ARDJ是平行四邊形，

∴JD＝AR＝AF，

在△ABF和△JED中， ，

∴△ABF≌△JED(SSS)，

∴∠1＝∠BAF，

∵∠BAF＝∠CHG＝∠2，

∴∠1＝∠2，

∴DG＝DJ，

∴AF＝DG．