Question

已知，等邊△ABC中，D為BC上一點，DE∥AC交AB于C，M是AE上任意一點（M不與A、E重合），連DM，作DN平分∠MDC交AC于N．
（1）若BD=DC（如圖1），求證：EM+NC=DM；
（2）在（1）的條件下，如圖2，作DF⊥AC于F，若NF：FC=3：5，AM=4，連接MN將∠DMN沿MN翻折，翻折后的射線MD交AC于P，連接DP交MN于點Q，求PQ的長．

Answer 1

分析：（1）首先延長AC至M′，使CM′=EM，連接DM′，根據全等三角形的判定得出△EMD≌△CM′D，進而得出DM=NM′=CN+CM′，即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出AN，QC，NQ，MD，ED，AC，NC的長度，再利用相似三角形的判定得出△MRN∽△NFD，進而得出△MDN≌△KDN（ASA），再由△MPQ∽△KDQ，得出

PQ

QD

=

MP

DK

=

2

7

，QP=

2

9

DP即可得出答案．

解答：（1）證明：延長AC至M′，使CM′=EM，連接DM′，
∵BD=CD，
∴D為BC中點，
又∵DE∥AC，
∴△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴DE=

1

2

AC=

1

2

BC=CD，
∴∠BED=∠ACB=60°，
∴∠MED=∠M′CD=120°，
∵在△EMD和△CM′D中，

ME=CM′ ∠MED=∠DCM′ ED=DC

，
∴△EMD≌△CM′D（SAS），
∴EM=CM′，∠EDM=∠CDM′，
∵DN平分∠MDC，
∴∠MDN=∠CDN，
∴∠EDN=∠M′DN，
∵DE∥AC，
∴∠EDN=∠M′ND，
∴∠M′DN=∠M′ND，
∴DM′=NM′，
∴DM=NM′=CN+CM′，
∴DM=CN+EM．

（2）過M作MR⊥AN于R，延長MN交BC于點K，
∵NF：FC=3：5，
∴設NF=3x，CF=5x，
∴NC=8x，
∵DF⊥AC于F，∠C=60°，
∴CD=2CF=10x，
∵D為BC中點，
∴BD=CD=10x，
∴AE=10x，
∵AM=4，
∴EM=10x-4，
∴DM′=DM=EM+NC=18x-4，FM′=FC+CM′=15x-4，
DF=5

3

x，Rt△DFM′中，
（5

3

x）²+（15x-4）²=（18x-4）²，
解得：x₁=1，x₂=0（舍去）．
MD=18x-4=14，ED=CD=10x=10，AC=20x=20，NC=3x+5x=8x=8，
AN=20-8=12，QC=5，NQ=3，
∵∠A=60°，CQ=5，
∴DF=5

3

，
∴

MR

FN

=

RN

DF

，∠MRN=∠NFD=90°，
∴△MRN∽△NFD，
∴∠MNR=∠NDF，
∵∠NDF+∠DNF=90°，
∴∠MNR+∠DNF=90°，
∴∠MND=90°，
∵在△MDN和△KDN中，

∠MND=∠DNK DN=DN ∠MDN=∠NDK

，
∴△MDN≌△KDN（ASA），
∴∠DMN=∠DKN，
∴DK=DM=14，
∴∠DKN=∠NMP，
∴MP∥DK，
∴∠APM=∠ACB=60°，
∴△AMP是等邊三角形，
∴AP=AM=MP=4，
∴PC=16，PF=11，
∴DP=14，
∵∠DKN=∠NMP，∠MQP=∠KQD，
∴△MPQ∽△KDQ，
∴

PQ

QD

=

MP

DK

=

2

7

，
∴QP=

2

9

DP=

2

9

×14=

28

9

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質等知識，利用數形結合得出是解題關鍵．