Question

【題目】如圖，以菱形ABCD對角線交點為坐標原點，建立平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為（﹣2 ，0）、（0，﹣ ），直線DE⊥DC交AC于E，動點P從點A出發，以每秒2個單位的速度沿著A→D→C的路線向終點C勻速運動，設△PDE的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒．

（1）求直線DE的解析式；
（2）求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）當t為何值時，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此時直線BP與直線AC所夾銳角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由菱形的對稱性可得，C（2 ，0），D（0， ），

∴OD= ，OC=2 ，tan∠DCO= = ，

∵DE⊥DC，

∴∠EDO+∠CDO=90°，

∵∠DCO+∠CD∠=90°，

∴∠EDO=∠DCO，

∵tan∠EDO=tan∠DCO= ，

∴ ，

∴OE= ，

∴E（﹣ ，0），

∴D（0， ），

∴直線DE解析式為y=2x+

（2）

解：由（1）得E（﹣ ，0），

∴AE=AO﹣OE=2 ﹣ = ，

根據勾股定理得，DE= = ，

∴菱形的邊長為5，

如圖1，

過點E作EF⊥AD，

∴sin∠DAO= ，

∴EF= = ，

當點P在AD邊上運動，即0≤t＜ ，

S= PD×EF= ×（5﹣2t）× =﹣ t+ ，

如圖2，

點P在DC邊上運動時，即 ＜t≤5時，

S= PD×DE= ×（2t﹣5）× = t﹣ ；

∴S=

（3）

解：設BP與AC相交于點Q，

在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，

∴DE⊥AB，

∴∠DAB+∠ADE=90°，

∴∠DCB+∠ADE=90°，

∴要使∠EPD+∠DCB=90°，

∴∠EPD=∠ADE，

當點P在AD上運動時，如圖3，

∵∠EPD=∠ADE，

∴EF垂直平分線PD，

∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2 ，

∴2t=5﹣ ，

∴t= ，

此時AP=1，

∵AP∥BC，

∴△APQ∽△CBQ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴AQ= ，

∴OQ=OA﹣AQ= ，

在Rt△OBQ中，tan∠OQB= = = ，

當點P在DC上運動時，如圖4，

∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°

∴△EDP∽△EFD，

∴ ，

∴DP= = = ，

∴2t=AD﹣DP=5+ ，

∴t= ，

此時CP=DC﹣DP=5﹣ = ，

∵PC∥AB，

∴△CPQ∽△ABQ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴CQ= ，

∴OQ=OC﹣CQ=2 ﹣ = ，

在Rt△OBD中，tan∠OQB= = =1，

即：當t= 時，∠EPD+∠DCB=90°．此時直線BP與直線AC所夾銳角的正切值為 ．

當t= 時，∠EPD+∠DCB=90°．此時直線BP與直線AC所夾銳角的正切值為1

【解析】（1）先有菱形的對稱性得出點C，D坐標，然后用∠DCO的正切值，以及等角的三角函數值相等列出方程，最后用待定系數法求出直線DE解析式．（2）先求出菱形的邊長，再求出EF，分點P在AD和DC邊上，用面積公式求解；（3）先求出∠EPD=∠ADE，分兩種情況用由菱形的邊長建立方程求出時間t，用相似三角形的比例式建立方程求出OQ，解直角三角形即可．