Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=2，AC= ，∠BAC=105°，△ABD、△ACE、△BCF都是等邊三角形，則四邊形AEFD的面積為 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：∵△ABD，△ACE都是等邊三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠DAE=135°，
∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC與△DBF中，

∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE= ，
同理可證△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=2，
∴四邊形DAEF是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=45°，
∴SAEFD=AD（DFsin45°）=2×（ × ）=2．
即四邊形AEFD的面積是2，
所以答案是：2．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對平行四邊形的判定與性質的理解，了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．