Question

【題目】（2017廣東省）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點C，垂足為點E，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，AF⊥PC于點F，連接CB．

（1）求證：CB是∠ECP的平分線；

（2）求證：CF=CE；

（3）當時，求劣弧的長度（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】試題(1)、根據等角的余角相等證明即可；(2)、欲證明CF=CE，只要證明△ACF≌△ACE即可；(3)、作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性質求出BM，求出tan∠BCM的值即可解決問題．

試題解析：（1）證明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．

（2）證明：連接AC．

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE．

（3）解：作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴，∴BM2=CMPM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∴的長= =．