Question

【題目】如圖1，拋物線與兩條坐標軸分別交于，，三點．其中，且．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點是軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以點，，，為頂點，以為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點，分別是線段，上的動點，連接，，當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，，，；（3）

【解析】

（1）根據，且，得到點A的坐標，代入A和C的坐標即可求解；

（2）該平行四邊形以點，，，為頂點，以為邊，且Q在x軸上，設點的坐標為，根據平行四邊形的性質可得，求解即可；

（3）由得到平分，故過點分別作于，于，可得，并可用含m的代數式表示線段長度，通過證明得到，對應線段成比例可求得m的值，再證明，并表示各自的正切值，即可求解．

（1）∵，∴，

∵，

∴

代入可得：，

解得：，∴．

（2）存在，設點的坐標為，依題意有

當時，解得，(舍去)，

∴

當時，解得，，

∴，，

（3）拋物線，

當時，，解得：，，∴，

∵，∴，，∴平分，

過點分別作于，于，∴

∵，∴，

∴是等腰直角三角形，

設，則，，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

解得：，∴，

設直線的解析式為，易得，

，過點作軸于．

∵，，∴，

∵，

∴，

解得：，，

∴．