Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=8cm，D是AB的中點．現將△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，FE交AC于M點．

（1）求證：AG=GH；
（2）求四邊形GHME的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：將△BCD沿BA方向平移得到△EFG，

∴△BCD≌△EFG，FG∥CD，EF∥CB，DG=EB=1，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點，

∴AD=CD=BD= AB= ×8=4，

∴∠DAC=∠ACD，

∵FG∥CD，

∴∠AFG=∠ACD，

∴∠AHG=∠DAC，

∴AG=GH

（2）解：如圖：過C作CN⊥AB于N，

∵∠ABC=60°，∠ACB=90°，

∵BC= AB= ×8=4，

∵∠ABC=60°，CD=BD，

∴△BCD為等邊三角形，

∴NB= BD=2，

∴CN= ，

∵DG=1，AD=4，

∴GH=AG=3，

∴FH=1，you

∵∠A=30°，

∴∠A=30°=∠AHG=∠FHM=30°，

∵FE∥CB，∠ACB=90°，

∴MF= ，

∴HM= ．

∴S△EFG=S△BCD= ×4×2 =4 ，

S△MFH= × × = ，

【解析】（1）由點D是直角三角形的斜邊AB的中點，得到CD=AD=DB,根據等邊對等角，得出∠A=∠ACD，由平移得到FG∥CD，則可得∠AHG=∠ACD，即可得∠AHG=∠A，等角對等邊得到AG=GH；（2）四邊形GHME是由直角三角形AME減去等腰三角形AGH得到的。