Question

【題目】二次函數圖象的頂點在原點O，且過點（1，1），點F（0，）在y軸上，直線與y軸交于點H，

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線交于點M，求證：FM平分∠OFP；

（3）當點P橫坐標為時，過O點作OQ⊥OP交拋物線于點Q，在y軸上找點C，使△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，求點C的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2；（2）見解析（3）C點坐標為（0，）或（0，-）或（0,1）.

【解析】

（1）根據題意可設函數的解析式為y＝ax2，將點（1，1）代入函數解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數的解析式；

（2）過點P作PB⊥y軸于點B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF＝PM，∠PFM＝∠PMF，結合平行線的性質，可得出結論；

（3）先求出P（，2），得到OE=，PE=2,過點Q作QA⊥x軸與點A,根據OP⊥OQ，利用tan∠POE= tan∠AQO求出OA=QA，設Q(a,a2)代入二次函數得到Q點坐標，故得到OQ的長，再根據當△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形分①當OQ=OC時與②當OQ=CQ時分別進行求解.

（1）解：∵二次函數圖象的頂點在原點O，

∴設二次函數的解析式為y＝ax2，

將（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，

∴二次函數的解析式為y＝x2；

（2）證明：∵點P在拋物線y＝x2上，

∴可設點P的坐標為（x，x2），

過點P作PB⊥y軸于點B，

則BF＝| x2|，PB＝|x|，

∴Rt△BPF中，

PF＝=，

∵PM⊥直線，

∴PM＝，

∴PF＝PM，

∴∠PFM＝∠PMF，

又∵PM∥y軸，

∴∠MFH＝∠PMF，

∴∠PFM＝∠MFH，

∴FM平分∠OFP；

（3）當x=時，y=，

∴P（，2）

設OM與x軸交于E點，

∴OE=，PE=2,

過點Q作QA⊥x軸與點A,

∵OP⊥OQ，

∴∠QOP=90°

∴∠AQO+∠QOA=90°=∠QOA+∠POE，

∴∠POE=∠AQO

∴tan∠POE= tan∠AQO==

∴OA=QA

設Q(a,a2),∴-a=a2,

解得a1=0(舍去),a2=-

∴Q（-，）

∴QO=

當△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，

∴①當OQ=OC時，即C點為（0，）或（0，-）

②當OQ=CQ時，設C（0,c）則=

解得,c1=1，c2=0（舍去），

∴C（0,1）

綜上：C點坐標為（0，）或（0，-）或（0,1）.