Question

【題目】如圖，點D在⊙O上，過點D的切線交直徑AB的延長線于點P，DC⊥AB于點C．

（1）求證：DB平分∠PDC；

（2）如果DC = 6，，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連結OD，如圖，利用切線性質得∠ODB+∠PDB=90°，由CD⊥OB得∠CDB+∠DBC=90°，加上∠ODB=∠OBD，于是得到∠CDB=∠PDB，即DB平分∠PDC；

（2）作BE⊥PD，如圖，根據角平分線的性質定理得到BC=BE，在Rt△PDC中，利用三角函數的定義計算PC=8，則利用勾股定理可計算出PD=10，設BC=x，則BE=x，PB=8-x，通過證明Rt△PBE∽Rt△PDC，利用相似比得到x：6=（8-x）：10，然后根據比例性質求出x即可．

（1）證明：如圖，連接OD．

∵ DP是⊙O的切線，

∴ OD⊥DP，

∴ ，

∴ ，

又 ∵DC⊥OB，

∴ ，

∴，

∵OD=OB，

∴，

∴，

∴DB平分∠PDC；

（2）如圖，過點B作BE⊥DP于點E．

∵，BC⊥DC，

∴BC=BE，

∵DC=6，，

∴DP=10，PC=8，

設CB = x，則BE = x，BP = 8 – x，

∵ △PEB∽△PCD，

∴ ，

∴x=3,

∴ 的長為3.