Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P為BC邊上一動點，PG⊥AC于點G，PH⊥AB于點H．

(1)求證：四邊形AGPH是矩形；

(2)在點P的運動過程中，GH的長度是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)見解析.

【解析】

（1）根據“矩形的定義”證明結論；

（2）連結AP．當AP⊥BC時AP最短，結合矩形的兩對角線相等和面積法來求GH的值．

（1）證明∵AC=9AB=12BC=15，

∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，

∴AC2+AB2=BC2，

∴∠A=90°．

∵PG⊥AC，PH⊥AB，

∴∠AGP=∠AHP=90°，

∴四邊形AGPH是矩形；

（2）存在．理由如下：

連結AP．

∵四邊形AGPH是矩形，

∴GH=AP．

∵當AP⊥BC時AP最短．

∴9×12=15AP．

∴AP=．